La hipérbola

Un hipérbola es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la circunferencia de sus distancias desde los puntos fijos, llamados focos, es una constante.

Demostración de la ecuación de la hipérbola

Parábola

La parábola es el conjunto de todos los puntos P en el plano que estan a la misma distancia de un punto dijo F y de una linea fija D. El punto F se llama  foco de la parabola y la linea D es su directirz. Una parabola es, entonces, el conjunto de puntos para los cuales.
d(P,F) = d(P,D)

Demostración de la ecuación de la parábola

Vídeo explicativo:

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano tal que la suma de la distancia a dos puntos fijos llamados focos situados en el mismo plano es una cantidad constante.

PF+PF' = X

Elementos de la elipse

• Focos: F y F'
• Centro: (0,0) o (h,k)
• eje mayor: los vértices V y V'
• eje menos: los vértices B y B'
• la distancia del centro de la elipse al foco C
• Distancia  =2C
• Distancia del centro de la elipse a un vértice del eje mayor a
• Distancia=2a
• Distancia del centro de la elipse a un vértice de eje menos b
• Distancia =2b

Ecuación de la elipse con centro (0,0)

Ecuación de la elipse con centro (h,k)

Ejemplo:

Graficar la elipse cuya ecuación es: 

Desarrollo

Ejercicios de practica

1. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2)
2. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7) 
3. F(0, 0), V(-1, 0) 
4.  F(3, 0), V(2, 0) 
5. y² + 4x – 4y – 20 = 0 

Circunferencia

La circunferencia es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

Elementos:

• centro: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.
• Radio: el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro.
• Cuerda: el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
• Recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos.
• Recta tangente:  la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
• Punto de tangencia: el de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
• Arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
• Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

Ecuación de la circunferencia con centro (h,k)

Formulas para hallar la ecuación de la circunferencia

Vídeo explicativo

Ejercicio:

Hallar la ecuación de la circunferencia  si C= (-3,-2) y r=6

Aplicamos la formula

Ejercicios de practica:

1. centro en el origen y radio 6
2. centro en el punto  (-2,0) y pasa por el punto (1,0)
3. encontrar el centro y el radio de la circunferencia 
4. Hallar la ecuación de la circunferencia con el centro en el origen y radio 7 cm
5. Determine los puntos comunes de la circunferencia  y la recta 

Rectas paralelas y perpendiculares

Rectas Perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares si:

• al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90°
• si sus vectores directores son perpendiculares
• si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo

Ejercicio:

Hallar una recta perpendicular que pase por el punto (-2,-3) a la recta que pasa por los puntos (1,2); (-4,-3)

Ejercicios de aplicación:

1. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a y=2x-3 que pase por el punto (1,2)
2. dos reectas perpendiculares se intersectan en el punto (2,2) si una de ella pasa por el origen, encuentra la ecuación de las dos rectas
3. perpendicular a la recta y=8; pasa por (3,4)
4. perpendicular a la recta x-2y+5=0, pasa por (0,4)
5. perpendicular a la recta y=2x-3, pasa por (1,-2)

Pendiente de una recta

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Ejercicio:

Hallar la pendiente de la siguiente recta : (0,0); (2,1)

Solución:

Ejercicios de practica:

Localice cada par de puntos y determine la pendiente de la recta que los contiene:

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.


Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Ejemplo :

Ejercicio : 

Halle la distancia entre los puntos (-1,1); (2,2) y grafique:

Gráfica:

Ejercicios de practica:
Halle la distancia entre los dos puntos dados:

Rectas paralelas y perpendiculares

Rectas Paralelas:
Las rectas paralelas son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni toca y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.

Recordamos:

m = pendiente

b = punto de corte en y

Ejercicio:

Hallar la ecuación de una recta paralela a y=2x-3 y que pase por el punto (1,2)

Ejercicios de aplicación:

1. Hallar una recta paralela que pase por el punto (-2,-3) a la recta que pasa por los puntos (1,2); (-4,3)
2. paralela a la recta y=5; pasa por (4,2)
3. paralela a la recta x=5; pasa por (4,2)
4. paralela a la recta y=-3x, pasa por (-1,2)
5. paralela a la recta y=2x, pasa por (-1,2)

Ecuación de la recta forma punto-punto

Ecuación de la recta de la forma punto-punto
para encontrar la ecuación de la recta se necesita:

• conocer los dos puntos por donde se pasa la recta
• hallar el valor de la pendiente

• Utilizar la siguiente formula para hallar la ecuación de la recta:

Ejercicio:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,2); (-1,-3) y gráficar:

Solución:

Forma general "todo se iguala a cero"

Gráfica:

Ejercicios de practica:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: